גובה פירמידה ישרה ונפח – בגרות חורף 2022וקטורים 472 · שיעור 22
📄 נוסח השאלה
נתונה פירמידה ישרה SABC שבסיסה משולש ABC (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 3.
נתון: ∢ASB = ∢BSC = ∢ASC = 30 מעלות.
נסמן: SA = u , SB = v , SC = w.
הנקודה M נמצאת במישור ABC. ידוע כי SM = 13u + 13v + 13w.
א. חשב את המכפלות הסקלריות: u · v , v · w , u · w. (פתרנו בשיעור 11)
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. (1) הבע את הווקטורים AB ו־AC באמצעות u , v ו־w. (2) חשב את אורכי הווקטורים AB ו־AC. (3) מצא את גודל הזווית BAC. (פתרנו בשיעור 16)
ג. הראה כי SM מאונך למישור ABC.
נסמן: SM = m.
ד. הבע את נפח הפירמידה SABC באמצעות m.
סעיף ג – SM מאונך למישור ABC
📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 11 , שיעור 16):
סעיף א – המכפלות הסקלריות: u · v = v · w = u · w = 9√32 ≈ 7.79
סעיף ב(1) – הבעת AB ו־AC: AB = v − u , AC = w − u
סעיף ב(2) – אורכי AB ו־AC: |AB| = |AC| = √18 − 9√3 ≈ 1.55
סעיף ב(3) – הזווית BAC: ∢BAC = 60 מעלות
סעיף א – המכפלות הסקלריות: u · v = v · w = u · w = 9√32 ≈ 7.79
סעיף ב(1) – הבעת AB ו־AC: AB = v − u , AC = w − u
סעיף ב(2) – אורכי AB ו־AC: |AB| = |AC| = √18 − 9√3 ≈ 1.55
סעיף ב(3) – הזווית BAC: ∢BAC = 60 מעלות
הגובה SM (סגול, מקווקו כי הוא בתוך הפירמידה) יורד לנקודה M שבבסיס.
סעיף ג – SM מאונך למישור ABC · המשך
הגובה SM (סגול, מקווקו כי הוא בתוך הפירמידה) יורד לנקודה M שבבסיס.
ישר מאונך למישור אם הוא מאונך לשני ישרים נחתכים במישור. במישור ABC נבחר את AB ו־AC (נחתכים ב־A), ונראה שהמכפלה הסקלרית של SM עם כל אחד מהם היא 0.
נציב SM = 13(u + v + w) (נתון) , AB = v − u (סעיף ב(1)):
SM · AB = 13(u + v + w) · (v − u)
📐 נוסחה: מהנתון ומסעיף ב(1)
SM · AB = 13(u·v − u·u + v·v − v·u + w·v − w·u)
📐 נוסחה: פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית
📐 נוסחה: מהנתון ומסעיף ב(1)
SM = 13(u + v + w)
AB = v − u
AB = v − u
📐 נוסחה: פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית
(a + b) · c = a·c + b·c
סעיף ג – SM מאונך למישור ABC · המשך
SM · AB = 13(u·v − u·u + v·v − v·u + w·v − w·u)
📐 נוסחה: פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית
נציב u·v = v·w = u·w = 9√32 , u·u = v·v = w·w = 9 (סעיף א):
SM · AB = 13(9√32 − 9 + 9 − 9√32 + 9√32 − 9√32)
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)
SM · AB = 13 · 0
SM · AB = 0
SM · AB = 0 ⟸ SM ⊥ AB
📐 נוסחה: וקטורים מאונכים
📐 נוסחה: פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית
(a + b) · c = a·c + b·c
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)
u·v = v·w = u·w = 9√32
u·u = v·v = w·w = 9
u·u = v·v = w·w = 9
📐 נוסחה: וקטורים מאונכים
a · b = 0 ⟺ a ⊥ b
סעיף ג – SM מאונך למישור ABC · המשך
SM · AB = 0 ⟸ SM ⊥ AB
📐 נוסחה: וקטורים מאונכים
נציב SM = 13(u + v + w) (נתון) , AC = w − u (סעיף ב(1)):
SM · AC = 13(u + v + w) · (w − u)
📐 נוסחה: מהנתון ומסעיף ב(1)
SM · AC = 13(u·w − u·u + v·w − v·u + w·w − w·u)
📐 נוסחה: פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית
נציב u·v = v·w = u·w = 9√32 , u·u = v·v = w·w = 9 (סעיף א):
SM · AC = 13(9√32 − 9 + 9√32 − 9√32 + 9 − 9√32)
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)
📐 נוסחה: וקטורים מאונכים
a · b = 0 ⟺ a ⊥ b
📐 נוסחה: מהנתון ומסעיף ב(1)
SM = 13(u + v + w)
AC = w − u
AC = w − u
📐 נוסחה: פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית
(a + b) · c = a·c + b·c
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)
u·v = v·w = u·w = 9√32
u·u = v·v = w·w = 9
u·u = v·v = w·w = 9
סעיף ג – SM מאונך למישור ABC · המשך
SM · AC = 13(9√32 − 9 + 9√32 − 9√32 + 9 − 9√32)
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)
SM · AC = 13 · 0
SM · AC = 0
SM · AC = 0 ⟸ SM ⊥ AC
📐 נוסחה: וקטורים מאונכים
SM ⊥ AB , SM ⊥ AC ⟸ SM ⊥ ABC
📐 משפט: ישר מאונך למישור
✅ פתרון סופי: SM ⊥ AB ו־SM ⊥ AC (שני ישרים נחתכים במישור), לכן SM מאונך למישור ABC.
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית (מסעיף א)
u·v = v·w = u·w = 9√32
u·u = v·v = w·w = 9
u·u = v·v = w·w = 9
📐 נוסחה: וקטורים מאונכים
a · b = 0 ⟺ a ⊥ b
📐 משפט: ישר מאונך למישור
ישר המאונך לשני ישרים נחתכים במישור – מאונך למישור
סעיף ד – נפח הפירמידה
הבסיס ABC (תכלת) והגובה SM = m (סגול).
מסעיף ג, SM מאונך לבסיס, ולכן SM = m הוא גובה הפירמידה. נחשב את שטח הבסיס: במשולש ABC ידועות שתי צלעות AB = AC והזווית שביניהן ∢BAC = 60 מעלות.
SABC = 12 · AB · AC · sin∢BAC
📐 נוסחה: שטח משולש
נציב AB = AC = √18 − 9√3 , ∢BAC = 60:
SABC = 12 · √18 − 9√3 · √18 − 9√3 · sin60
נציב sin60 = √32:
📐 נוסחה: שטח משולש
S = 12 · a · b · sin
של הזווית שבין הצלעות a ו־ b
של הזווית שבין הצלעות a ו־ b
סעיף ד – נפח הפירמידה · המשך
נציב sin60 = √32:
SABC = 12 · (18 − 9√3) · √32
📐 נוסחה: ערך הסינוס
SABC = (18 − 9√3) · √34 = 18√3 − 274 ≈ 1.044
V = 13 · SABC · h
📐 נוסחה: נפח פירמידה
נציב SABC = 18√3 − 274 , h = m:
V = 13 · 18√3 − 274 · m
📐 נוסחה: ערך הסינוס
sin60 = √32
📐 נוסחה: נפח פירמידה
V = 13 · S · h
S – שטח הבסיס , h – הגובה
S – שטח הבסיס , h – הגובה
סעיף ד – נפח הפירמידה · המשך
V = 13 · 18√3 − 274 · m
V = 18√3 − 2712 m = 6√3 − 94 m ≈ 0.348m
✅ פתרון סופי: V = 6√3 − 94 m ≈ 0.348m
📌 סיכום התשובות
סעיף ג
הוכחה: SM·AB = 0 , SM·AC = 0
סעיף ד
V = 6√3 − 94 m ≈ 0.348m
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא